Kosinüs teoremi

Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen

Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şöyledir:

\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

İspatı

Uzaklık Formülüyle

Kenarları $a,b,c$ ve c kenarının karşısındaki açısı $\alpha$ olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde $\ A(b\sin \alpha ,b\cos \alpha ),B(0,a),C(0,0)$ noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle $c={\sqrt {(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}}}$ bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:

{\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \alpha -a)^{2}+(b\sin \alpha -0)^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\alpha -2ab\cos \alpha +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )-2ab\cos \alpha \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \end{aligned}}

Trigonometriyle

Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.

Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.

Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,

b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.

bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,

En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,

yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,.

elde edilir.

İkizkenar üçgende kosinüs teoremi

Bir ikizkenar üçgende $a=b$ ve iki eşit kenar arasındaki açı $\gamma$ olduğu durumda $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$ olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

\cos(\gamma )=1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}.\;

İlgili konular

Trigonometri

Açı Ölçü Birimleri	Derece · Radyan · Grad

Trigonometrik işlevler	Sinüs (sin) · Kosinüs (cos) · Tanjant (tan) · Kotanjant (cot) · Sekant (sec) · Kosekant (csc)

Trigonometrik Formüller	Trigonometrik dönüşüm formülleri · Toplam fark formülleri · Kosinüs teoremi · Sinüs Teoremi · Tanjant teoremi

İlgili Konular	Üçgen · Çember · Geometri

Kullanıldığı dallar	Matematik · Geometri · Fizik · Mühendislik · Astronomi

Üçgen

Üçgen Türleri	Dik üçgen · İkizkenar üçgen · Eşkenar üçgen

Yardımcı Elemanlar	Açıortay · Kenarortay · Yükseklik

Teoremler ve bağıntılar	Pisagor teoremi · Ceva teoremi · Menelaus teoremi · Stewart teoremi · Thales teoremi · Öklid bağıntıları · Kosinüs teoremi · Sinüs teoremi · Tanjant teoremi

This article is issued from Vikipedi - version of the 5/8/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.