Riemann integrali

${\displaystyle f}$, ${\displaystyle [a,b]}$ aralığında bir gerçel değerli işlev ve ${\displaystyle S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}}$, ${\displaystyle f}$ işlevinin altında ve ${\displaystyle [a,b]}$ aralığının üstünde kalan düzlemin alanı olmak koşuluyla

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$

ifadesi bu alanı tanımlamak için kullanılır.

Riemann integrali ${\displaystyle S}$'yi hesaplarken çok basit yaklaştırmaları göz önüne almaktadır. Bu yaklaştırmalar geliştirilerek "limitte" eğrinin altında kalan ${\displaystyle S}$ alanı tam olarak hesaplanabilmektedir.

${\displaystyle f}$ pozitif ve negatif değerler alabilmesine karşın integral, ${\displaystyle f}$'nin altında kalan alanı belirtmektedir. Bu alan, ${\displaystyle x}$-ekseni üstündeki alanla ${\displaystyle x}$-ekseni altında kalan alanın farkına eşittir.

Riemann integrali, işlevi oluşturan parçalar giderek daraldığından Riemann toplamlarının limitine eşittir. Bu limit tanımlıysa işlev integrali alınabilirdir.

• İlkel fonksiyon
• Riemann–Stieltjes integrali
• Henstock–Kurzweil integrali
• Lebesgue integrali
• Darboux integrali

• Shilov, G. E. & Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8