Liouville sayısı

${\displaystyle b\geq 2}$ bir tam sayı olsun. ${\displaystyle b}$ tabanındaki Liouville sabiti ${\displaystyle x}$ aşağıdaki gibi tanımlanır.

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\;}$

Örneğin on tabanında ${\displaystyle x=0.110001000000000000000001000...\;.}$ (1., 2., 6., 24., 120., 720., ... basamakta 1 rakamı var (OEIS'de A000142 dizisi))

Liouville sabiti aşağıda ispatlandığı gibi bir Liouville sayısıdır. ${\displaystyle n}$ bir sayma sayısı olsun. Şimdi uygun ${\displaystyle \,p,\,q}$ sayılarını bulmamız gerekiyor.

${\displaystyle q=b^{n!}}$ ve ${\displaystyle p=q\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{b^{k!}}}}$ için

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q}^{n}}}\,}$. QED

Örnek için bu sayıları düşünelim,

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 sıfır)1(17 sıfır)5(95 sıfır)9(599 sıfır)2... burada rakamlar π'nin ondalık açılımı içinde ondalık noktaların ninci rakamı burada n! rakamına eşit konumu içinde sıfır varlığıdır .

Liouville sayılarının varlığı üzerindeki kesiti içinde gösterilen, bu sayılar, hem de başka bir sonlanamayan ondalık sıfır-dışı rakamlarla benzer durulardır ve bir Liouville sayılarının tanımı doyurucudur. Bu nedenle boş-olmayan rakamların tüm dizilerinin kümesi has the sürekliliğinin önem düzeyi aynı oluşan şey tüm Liouville sayılarının kümesinde var.

Dahası, Liouville sayıları gerçek sayıların kümesinin yoğun altküme formudur.

Ölçüm teorisinin bakış açısından,tüm Liouville sayıları Lin kümesi küçüktür. Daha kesin bir ifadeyle, onun Lebesgue ölçümü sıfırdır. John C. Oxtoby tarafından bazı fikirler aşağıda kanıt olarak verilmiştir.[1]^:8

pozitif n > 2 tam sayıları veq ≥ 2 kümesi:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

elimizde olan

${\displaystyle L\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Araştırılan her pozitif n ≥ 2 vem ≥ 1 tam sayı için , ayrıca elimizde olan

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Nedeniyle

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

ve n > 2 ile

${\displaystyle m(L\cap (-m,\,m))\leq \sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.}$

Şimdi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

ve onun aşağıda bu her pozitif tam sayısı m için, L ∩ (−m, m) Lebesgue ölçümü sıfırdır. Kanıt için, böylece L vardır.

Karşıt olarak, tüm gerçek aşkın sayıların T kümesinin Lebesgue ölçümü sonsuzdur (bu nedenle T bir boş kümenin tamamlayıcısıdır).

Aslında, LinHausdorff boyutu sıfırdır, bu Lin bu Hausdorff ölçümü ifadesi tüm dimension d > 0 boyutlar için sıfırdır.[1] Hausdorff dimension of L under other dimension functions has also been investigated.[2]

• Diofantin yaklaşıklığı

Özel

Genel

• Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation (İngilizce). 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0.

• The Beginning of Transcendental Numbers
• The least interesting number17 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.