Hata payı

Basit bir evet / hayır anketini ele alalım ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle N}$ ile ifade edilen bir popülasyondan çekilen ${\displaystyle n}$ adet katılımcının cevaplarının örneği ${\displaystyle (n<<N)}$ ve ${\displaystyle p}$ verdikleri evet cevaplarının yüzdesi olsun. ${\displaystyle p}$ sonucunun tüm ${\displaystyle N}$ popülasyonuna uygulanacak bir anketin gerçek sonucuna, bu anketi gerçekten uygulamak zorunda kalmadan ne kadar yakın çıktığını bilmek isteriz. Varsayımsal olarak, ${\displaystyle N}$ popülasyonundan yeni çekilen sonraki ${\displaystyle n}$ adet katılımcının cevaplarının ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$, ${\displaystyle {\overline {p}}}$ üzerinde normal dağılmasını bekleriz. Hata payı, bu sonuçların belirli bir yüzdesinin ${\displaystyle {\overline {p}}}$ den farkına ilişkin beklenilen mesafeyi tanımlar.

68-95-99.7 kuralına göre ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ sonuçlarının %95'inin gerçek ortalamanın ${\displaystyle {\overline {p}}}$ her iki tarafında yaklaşık iki standart sapma ( ${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$ ) aralığına düşmesini bekleriz. Bu aralığa güven aralığı adı verilir ve yarıçap (aralığın yarısı), %95 güven düzeyine karşılık gelen hata payı olarak adlandırılır.

Genellikle ${\displaystyle \gamma }$ güven düzeyinde, ${\displaystyle n}$ örnek boyutuna sahip bir popülasyonun beklenen standart sapması ${\displaystyle \sigma }$; ${\displaystyle z_{\gamma }}$ çeyreklik açıklığını (ayrıca, bir z-skorunu) ve ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$ standart hatayı gösterirken

${\displaystyle MOE_{\gamma }=z_{\gamma }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

hata payına sahiptir.

Normal dağılan ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ değerlerinin ${\displaystyle n}$ ile değişen bir standart sapmaya sahip olmasını bekleriz. Daha küçük ${\displaystyle n}$, daha geniş hata payı anlamına gelir. Buna standart hata denir ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$ .

Anket sonuçlarından biri için şu varsayılır: ${\displaystyle p={\overline {p}}}$ ve sonraki tüm sonuçlar ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ birlikte bir varyansa sahiptir ${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$ .

${\displaystyle {\text{Standart hata}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

${\displaystyle p(1-p)}$ bir Bernoulli dağılımının varyansına karşılık gelir.

${\displaystyle \gamma }$ güven düzeyi için ortalama ile ilgili bir güven aralığı ${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$, yani ${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$ şeklindedir. ${\displaystyle P}$ değerleri ${\displaystyle \gamma }$ olasılıkla bu aralık içine düşmelidir. ${\displaystyle z_{\gamma }}$'nin kesin değerleri normal dağılımın çeyrekler açıklığı fonksiyonu ile verilir (ve 68-95-99.7 kuralına yakınsar).

${\displaystyle z_{\gamma }}$, ${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$ için tanımsızdır, yani, ${\displaystyle z_{1.00}}$ gibi ${\displaystyle z_{1.10}}$ de tanımsızdır.

${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$
0.68	6999994457883210000♠0.994457883210		0.999	7000329052673149200♠3.290526731492
0.90	7000164485362695100♠1.644853626951		0.9999	7000389059188641300♠3.890591886413
0.95	7000195996398454000♠1.959963984540		0.99999	7000441717341346900♠4.417173413469
0.98	7000232634787404100♠2.326347874041		0.999999	7000489163847569899♠4.891638475699
0,99	7000257582930354900♠2.575829303549		0,9999999	7000532672388638400♠5.326723886384
0.995	7000280703376834400♠2.807033768344		0,99999999	7000573072886823600♠5.730728868236
0,997	7000296773792534200♠2.967737925342		0,999999999	7000610941020486900♠6.109410204869

${\displaystyle p=0.5}$ iken ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$ olduğundan,

${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$şeklinde keyfi bir ayarlama ile ${\displaystyle \gamma }$ güven seviyesinde ve ${\displaystyle n}$ örnek boyutunda gerçek sonuçları almadan önce bile ${\displaystyle P}$'nin maksimum hata payını elde etmek için ${\displaystyle \sigma _{P}}$, ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$, ve ${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$ değerleri hesaplanabilir. Örneğin ${\displaystyle p=0.5,n=1013}$ iken;

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle MOE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

Ayrıca, bildirilen herhangi bir ${\displaystyle MOE_{95}}$ için

${\displaystyle MOE_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}MOE_{95}\approx 1.3\times MOE_{95}}$

• Sudman, Seymour ve Bradburn, Norman (1982). Sorular Sormak: Anket Tasarımı İçin Pratik Bir Kılavuz . San Francisco: Jossey Bass.0-87589-546-8ISBN 0-87589-546-8
• Introductory Statistics. 5th. Wiley. 1990. ISBN 0-471-61518-8.Introductory Statistics. 5th. Wiley. 1990. ISBN 0-471-61518-8. Introductory Statistics. 5th. Wiley. 1990. ISBN 0-471-61518-8.

• "Errors, theory of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Margin of Error". MathWorld.