Green fonksiyonları

L Sturm–Liouville operatorü olmak üzere, şeklinde lineer diferansiyel operatör

${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$

ve D sınır koşulu operatörü olmak üzere

${\displaystyle Du={\begin{cases}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{cases}}}$

f(x) [0,l] aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere. Ayrıca varsayılan problem

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

düzenli (homojen) problem için, yalnızca önemsiz çözüm var ).

Burada tek ve yalnız tek çözümü karşılayan u(x) dır

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

ve bu verilir

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds}$

buradaki is koşulları sağlayan bir Green fonksiyonu G(x,s) aşağıdadır:

1. G(x,s) x ve s için süreklidir
2. ${\displaystyle x\neq s}$için, ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. ${\displaystyle s\neq 0}$için, ${\displaystyle DG(x,s)=0}$
4. Türev "jump": ${\displaystyle G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s)}$
5. Simetri: G(x, s) = G(s, x)