Akım fonksiyonu

Akım fonksiyonunun simgesi kullanılan tanıma göre değişir.

Bunlardan birisi akım fonksiyonunu ${\displaystyle \psi }$ iki boyutlu akış için tanımlamaktır:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=(0,0,\psi )}$ hız vektörü ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,0)}$ durumunda iken

Kartezyen koordinat sistemi'nde aşağıdaki eşitlikteki gibidir

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$ hızları, sırasıyla, kartezyen koordinatlardaki ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ yönlerindeki hızlardır.

Diğer bir tanımı ise şöyledir (genellikle meteoroloji ve okyanus biliminde kullanılır):

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {z} \times \nabla \psi '\equiv (-\psi '_{y},\psi '_{x},0)}$,

${\displaystyle \mathbf {z} }$, ${\displaystyle +z}$ yönündeki birim vektördür ve and alt indisler kısmi türevleri belirtir.

Burada kullanılan tanım, yukarıdakine göre ters işarete sahiptir(${\displaystyle \psi '=-\psi }$), böylelikle kartezyen koordinatlardaki biçimi şöyledir

${\displaystyle u=-{\frac {\partial \psi '}{\partial y}},\qquad v={\frac {\partial \psi '}{\partial x}}}$

İki boyutlu düz bir akışta A ve B gibi iki farklı nokta farzedin. Eğer bu iki nokta arası uzaklık çok küçükse: δn, ve bir akış bu iki noktalar arasında ortalama bir hızla hareket eder. q AB çizgisine diktir. Birim kalınlık başına düşen hacimsel akış oranı δΨ:

${\displaystyle \delta \psi =q\delta n\,}$

δn → 0, (δn sıfıra yaklaştıkça) yukarıdaki eşitlik düzenlenirşe şunu elde etmiş oluruz:

${\displaystyle q={\frac {\partial \psi }{\partial n}}\,}$

x-y kartezyen koordinat sistemindeki elementer bir alan içindeki akışı incelediğimizde şunu elde ederiz:

${\displaystyle \delta \psi =u\delta y\,}$

${\displaystyle \delta \psi =-v\delta x\,}$

u hızı x eksenine paralel, v ise y eksenine paralel hızdır. Bu yüzden, δn → 0 yaklaştıkça:

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,}$

${\displaystyle v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,}$

r-θ polar koordinat sistemindeki çok küçük bir bölgeyi incelersek:

${\displaystyle \delta \psi =v_{r}(r\delta \theta )\,}$

${\displaystyle \delta \psi =-v_{\theta }\delta r\,}$

v_r r eksenine paralel radyal hız bileşeni, v_θ ise θ eksenine paralel teğetsel hız vektörüdür. Böylece, δn → 0 gittikçe ve eşitlik yeniden düzenlenince:

${\displaystyle v_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,}$

${\displaystyle v_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\,}$

Kartezyen koordinatlarda iki boyutlu düz bir akış düşünün. Süreklilik denklemi; elementer bir bölge içinde sıkıştırılamaz bir akış için, çıkan kütle giren kütleye eşittir.

Toplam akış aşağıdaki ifadeyle verilir:

${\displaystyle \delta \psi _{in}=u\delta y+v\delta x.\,}$

Kontrol hacmi dışına çıkan toplam akış:

${\displaystyle \delta \psi _{out}=\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x\right)\delta y+\left(v+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y\right)\delta x.\,}$

Böylelikle:

${\displaystyle \delta \psi _{in}=\delta \psi _{out}\,}$

${\displaystyle u\delta y+v\delta x\ =\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x\right)\delta y+\left(v+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y\right)\delta x\,}$

sadeleştirirsek:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.}$

Akım fonksiyonunun tanımı itibarıyla yukarıdaki eşitliği birleştirirsek:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}=0.}$ bulmuş oluruz