Picard teoremi

Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve biricikliği hakkındaki teoremi görmek için Picard varlık teoremine bakınız.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi (Pikar teoremi olarak okunur) analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Teoremlerin ifadesi

Küçük Picard

"Küçük Picard" adı da verilen ilk teorem, tam bir f(z) fonksiyonunun görüntü kümesinin ya tüm karmaşık düzlem ya da karmaşık düzlemin bir noktası hariç hepsi olduğunu ifade eder.

Bu teorem, Picard tarafından 1879 yılında kanıtlanmıştır. Sabit olmayan bir tam fonksiyonun görüntü kümesinin sınırsız olacağını ifade eden Liouville teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir.

exp(1/z) 'nin, esaslı tekillik olan z=0 noktası merkezli çizimi. z noktasının renk özü exp(1/z 'nin karmaşık argumentini temsil etmektedir. Parlaklık ise aynı fonksiyonun mutlak değerini göstermektedir. Bu çizim, esaslı tekilliğe yaklaştıkça, sıfır olmayan bütün değerlerin alındığını gösterir.

Büyük Picard

"Büyük Picard" adı da verilen ikinci teorem, eğer f(z) 'nin w 'da esaslı tekilliği varsa, w 'yu içeren herhangi bir açık kümede f(z) 'nin en fazla bir değer hariç olmak üzere tüm değerleri sonsuz kere alacağını ifade eder.

Bu teorem de f 'nin görüntü kümesinin karmaşık düzlemde yoğun olacağını ifade eden Weierstrass-Casorati teoreminin önemli bir şekilde güçlendirilmiş halidir.

Notlar

Örneğin, f(z)=1/(1-exp(1/z)) 'nin z = 0 'da esaslı tekilliği vardır ve ∞ değerini 0 'ın herhangi bir komşuluğunda sonsuz kere alır; ancak hiçbir zaman 0 ve 1 değerlerini almaz.

Kaynakça

Ayrıca bakınız

This article is issued from Vikipedi - version of the 5/2/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.