Mersenne asal sayıları

Mersenne asal sayıları

Mersenne asal sayıları matematikte ikinin kuvvetlerinin bir eksiği şeklinde olan asal sayılardır. Yani n sayısı için M_n = 2ⁿ − 1  işleminin sonucu bir asal sayı ise bu sonuca Mersenne asal sayısı denir.^[1] Adını fransız bir matematikçi, filozof, keşiş ve müzik kuramcı olan (hatta "akustiğin babası" olarak bahsedilir) Marin Mersenne'den almıştır. Marin Mersenne 17. yüzyılın başlarında bu sayılar üzerinde çalışmıştır.^[2]
Yukarıdaki işlemde n = 2 için M_n = 3 olur. İlk Mersenne asal sayısı 3 tür. Sonra 7, 31 ve 127 diye devam eder.

Eğer n 1'den büyük asal olmayan bir tamsayı ise 2ⁿ − 1 de öyledir çünkü 2^ab − 1 , 2^a - 1 ve 2^b - 1 in her ikisine de bölünebilir. M_p = 2^p - 1 şeklindeki tanımlama p'nin asal sayı kabul edilerek yazılmasına göre değişmez.

Yani genel olarak M_n = 2ⁿ - 1 formundaki sayılar asallık ihtiyacına bakılmaksızın Mersenne Asal Sayıları diye adlandırılır. Mersenne Asal Sayıları bazen n'in asal olması ek şartı ile tanımlanır bunlara Mersenne Zararlı Asal Sayıları da denir(Zararlı sayı: sayılar teorisine göre ikilik gösterimindeki basamakları toplamı asal olan pozitif tamsayılardır. İlk zararlı sayı 3'tür. 3 = (11)₂ ve 1 + 1 = 2'dir. 5 = (101)₂ olduğundan 5 de zararlı sayıdır. 6, 7 ve 9 da bunları takip eden zararlı sayılardır). 1'den büyük asal olmayan en küçük Mersenne Zararlı Sayısı 2¹¹ - 1 = 2047 'dir. 2047 = 23*89

Mersenne Asal Sayıları mükemmel sayılarla olan bağlantısı nedeniyle de dikkat çekmiştir.

2016 'nın ocak ayı itibari ile 49 Mersenne Asal Sayısı bilinmektedir. Bilinen en büyük Mersenne Asal Sayısı 2^74.207.281 - 1 'dir.

1997 yılından beri bulunan tüm Mersenne Asal Sayıları "Great Internet Mersenne Prime Search^[3]" tarafından bulunmuştur. Bu araştırma internet üzerine dağıtılmış bir bilgi işlem projesidir.

Kaynakça

Dış bağlantılar

Mersenne asal sayıları.