Bölme kuralı

Yüksek matematik konuları
Temel Teori Fonksiyonların limiti Süreklilik Vektör hesabı Tensör hesabı Orta değer teoremi
Türevleme
Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital Kuralı
İntegral alma
İntegral tablosu Düzensiz integral İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk, Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme, Trigonometrik yerdeğiştirme

Bölme kuralı, yüksek matematikte diğer iki işlevin bölümü şeklinde olan bir işlev in türevinin hesaplanmasında kullanılır.

{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg^{-1})&=f'g^{-1}+f(g^{-1})'\\&=f'g^{-1}+f(-1)g^{-2}g'\\&={\frac {g^{2}}{g^{2}}}\left(f'g^{-1}-fg^{-2}g'\right)\\&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\\end{alignedat}}$

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus $(g^{-1})'\,$ türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

$(4x-2)/(x^{2}+1)$ ifadesinin türevi:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}

Yukardaki örnekte

g(x)=4x-2

h(x)=x^{2}+1

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x² ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

{\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}

olarak bulunur.

This article is issued from Vikipedi - version of the 2/5/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.